Python 알고리즘 공부 (8: 최단경로)

최단경로 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 최단경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다고 한다.

 

 

 

1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 최단경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

 

 

1. 출발 노드를 설정한다
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해서 최단 거리 테이블을 갱신한다
5. 위 과정에서 3, 4 를 반복한다

 

 

import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m = map(int, input().split())
start = int(input())
graph = [[] for i in range(n+1)]
visited = [False] * (n+1)
distance = [INF] * (n+1)

for _ in range(m):
    # a -> b 이동 비용 = c
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))

def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
        return index

def dijkstra(start):
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    for i in range(n-1):
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

dijkstra(start)
for i in range(1, n+1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

 

 

 

이보다 시간복잡도를 낮출 수 있는 다익스트라 구현 방법이 있다. 개선된 방법에서는 힙 자료구조를 사용한다. 힙 자료구조를 이용하면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로, 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더 빠르게 찾을 수 있다.

 

 

힙 자료구조는 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용되는 자료구조 중 하나다. 스택은 가장 나중에 사입된 데이터를 가장 먼저 삭제하고, 큐는 가장 먼저 삽입된 데이터를 가장 먼저 삭제한다. 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다. 이러한 우선순위 큐는 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다. 파이썬에서는 이러한 우선순위 큐가 필요할 때, heapq 를 사용한다. (우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용된다)

 

 

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n, m = map(int, input().split())
start = int(input())
graph = [[] for i in range(n + 1)]
distance = [INF] * (n + 1)

for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

dijkstra(start)

for i in range(1, n+1):
    if distance[i] == "INF":
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

 

 

 

2. 플로이드 워셜 알고리즘

 

다익스트라 알고리즘은 "한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 거리를 구해야 하는 경우"에 사용하는 최단 경로 알고리즘이고, 이번에 알아보는 플로이드 워셜 알고리즘은 "모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우"에 사용할 수 있는 알고리즘이다. 다익스트라 알고리즘이 그리디 알고리즘이였던 것과 다르게 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다.

 

 

이는 각 단계마다 특정한 노드 k 를 거쳐 가는 경우를 확인한다. A 에서 B 로 가는 최단거리보다 A 에서 k 를 거쳐 B 로 가는 거리가 더 짧은지를 검사하는 것이다.

 

 

INF = int(1e9)


n = int(input())
m = int(input())
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c


for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Reference:

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다